ПРОСТРАНСТВО КАЛАБИ-ЯУ
Пространство Кала́би — Яу (многообразие Калаби — Яу) — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.
Комплексное -мерное пространство Калаби — Яу является 2-мерным римановым многообразием с риччи-плоской метрикой и дополнительной симплектической структурой.
Ориентируемость и голоморфная ориентируемость
Гладкие многообразия делятся на ориентируемые и неориентируемые. Исторически первым примером неориентируемого многообразия была лента Мёбиуса (и в каком-то смысле это самый важный пример: двумерное гладкое многообразие неориентируемо тогда и только тогда, когда оно содержит ленту Мёбиуса). В терминах дифференциальных форм условие ориентируемости формулируется следующим образом: многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда оно допускает нигде не обращающуюся в нуль дифференциальную форму старшей степени (форму объёма). В геометрии неориентируемые многообразия являются скорее курьёзом, поскольку всякое неориентируемое многообразие допускает двойное накрытие, тотальное пространство которого ориентируемо (так называемое ориентирующее накрытие). Его удобно построить при помощи теории векторных расслоений. Именно, надо рассмотреть старшую внешнюю степень кокасательного расслоения — проще говоря, повесив над каждой точкой вещественную прямую, параметризующую всевозможные формы объёма на касательном пространстве в этой точке, выбрать в каждом слое скалярное произведение (например, воспользовавшись разбиением единицы), а затем рассмотрев в нём вектора единичной длины (то есть по два вектора над каждой точкой). Касательное пространство в точке , где p — точка нашего многообразия, а ∈Λ∗ — ненулевой элемент объёма, изоморфно проецируется на , и, заводя в нём элемент объёма, равный , мы получаем нигде не обнуляющуюся форму старшей степени на тотальном пространстве этого накрытия. Подобная конструкция, когда каждая точка заменяется на пространство, параметризующее всевозможные структуры определённой природы в этой точке (в данном случае на пару точек), а потом на получившемся расслоённом пространстве вводится какая-либо структура, в более сложных случаях называется твисторной конструкцией…
Брайан Грин описал не “Элегантную Вселенную”, а нарисовал какой-то ребус. В предыдущей главе мы пытались понять минимальный размер измерений. Но не столько удалось это понять, как пришлось принять это на веру, без надежды уразуметь необходимость этого.
На минимум ограничения мы наложили. А на максимум? Что R может быть сколь угодно большим? Вот R садового шланга, мне кажется, значительно больше планковского размера. И это циклическое измерение. А если замкнуть концы садового шланга, то нелепо отрицать, что это циклическое измерение. Для муравья это Вселенная. И если ему будет достаточно пищи на этом шланге, то он будет жить, не подозревая, по каким измерения он ползает. Никакие ограничения в этом случае на размер измерений невозможно наложить.
Но теория струн предполагает, что циклические измерения очень маленькие, а с другой стороны R может быть любым. Ну и как можно свернуть толщину или длину шланга до планковских размеров или даже микро размеров? Может быть, математические выкладки показывают, что это возможно, но душа этого не принимает и приходится просто верить. Неприятие некоторых таких положений существует и в иных других теориях.
Зеркальная симметрия.
В общей теории относительности, как и в «традиционной» геометрии, окружность радиуса R отличается от окружности радиуса 1/R, что кажется незыблемым и очевидным, а в теории струн эти окружности физически неразличимы.
Теоретикам такое положение понравилось, и они задались вопросом: не существует ли геометрических структур пространства, отличающихся друг от друга ещё сильнее (не только размером, но, возможно, и видом), но, тем не менее, физически неразличимых в теории струн?
По счастливой случайности оказалось, что такие неразличимые физически, но отличающиеся геометрически структуры пространства существуют. Дело в том, что геометрия структуры отвечает за появление семейств частиц. Три отверстия в пространстве отвечают за три семейства. Таблица 1.1. Но отверстия могут быть разными. Одни отверстия могут проходить через все 6 измерений, например, в многообразии Колаби-Яу, другие через 6 или 2 измерения. Я вырезал из 6-ти мерного пространства 3 измерения. Рис. 1.
Отверстия 3, 4, 8 трехмерные. Они на границе данного пространства выходят в виде некоторых площадей. Отверстия 2, 6, 9 двухмерные и на границе пространства они имеют вид линий. Отверстия 1, 5, 7 одномерные и на границе видны в виде точек. Эти отверстия лучше представлять в виде отверстий, проделанных червем в яблоке. Трехмерный червяк проделает трехмерную дыру. Плоский червяк проделает двухмерную дыру, а одномерный червь проделает одномерное отверстие.
Так вот ученые Ленс Диксон, Вольфганган Лерхе, Вафа и Николас Уорнер предположили, или, может быть, это у них родилось на кончике пера, что за качество и количество семейств отвечает только количество отверстий, а не их размерность. То есть пространство с отверстиями 1, 2 и 3 родит ровно такое же семейство, как и пространство с отверстиями 3, 4 и 6 или отверстиями 1, 9 и 7. Как видите, за одно и то же отвечает довольно много пространств, что должно облегчать их поиск.
Так и решился выше поставленный вопрос. Но появились новые свойства пространств Колаби-Яу. Оказывается, что пространства Колаби-Яу существуют не сами по себе как объективная реальность, а это образования, которые мы можем изменять и конструировать по своему усмотрению. Как пишет Брайан:
”Плессер и я заинтересовались методами построения путём математических преобразований новых доселе неизвестных многообразий Калаби-Яу из заданного многообразия Калаби-Яу”…