Аналогичным способом решается «парадокс» про лампочку, которая первую половину часа горит, потом четверть часа не горит, потом восьмую часть часа горит и т. п. Там ровно то же самое: нельзя сказать, будет ли гореть лампочка ровно после первого часа, поскольку в изначальных утверждениях это просто не описано — данная точка выколота, как и всё, что следует после неё. Вывод: «для ответа слишком мало данных», а вовсе не «формальная логика не справилась с задачей».

     Иными словами, логика не гарантирует вам ответ на любой вопрос, независимо от системы аксиом. «Стоит четырёхэтажный дом, в каждом этаже по восемь окон, на крыше — два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка?» На этот вопрос логический ответ: «Из предоставленных данных ответ не выводим». Это, подчеркну, тоже ответ. Логический. Закономерный. Прописанный в правилах логики, даже если кто-то их плохо понимает или не знает вообще.

     Парадоксы с критскими лжецами и им подобные разрешаются через закон логики, согласно которому система первичных высказываний не должна содержать противоречий. В этих парадоксах противоречия есть, что доказывается простым рассуждением, поэтому правильный логический ответ: «система содержит противоречивые аксиомы, а потому некорректна». Из такой системы при помощи несложных логических операций можно вывести «доказательство» любого произвольного утверждения, а потому такие наборы аксиом просто нет смысла рассматривать: их следствиями является полное множество вообще всех утверждений, а потому они не несут никакой информации.

     Парадокс с брадобреем, который бреет тех, кто не бреется сам, разрешается, например, выводом: «такой брадобрей не может существовать». Прямо по вышеописанному способу: есть запрет на наличие противоречий в системе базовых утверждений, а тут противоречие показывается парой операций.

     Парадоксальную фразу «это утверждение — ложно» и ей подобные тоже можно разрешить вышеуказанным запретом на противоречивые системы базовых утверждений. Но, кроме того, и запретом на бесконечную рекурсию — в дополнение к требованию о непротиворечивости утверждений: если система высказываний при попытке проанализировать некое утверждение на истинность в её рамках приводит к бесконечной рекурсии, то данное утверждение просто не определено относительно данной системы утверждений.

     Впрочем, есть и более извёрнутый способ разрешения, связанный со смыслом понятия «высказывание». В частности, высказывания о высказываниях — это не то же самого типа высказывания, что просто высказывания. Здесь в одной системе (и даже в одном утверждении) смешаны сразу два их типа, что в общем случае не гарантирует разрешимости и подводит либо к запрету на противоречия, либо к запрету на бесконечную рекурсию, но уже в ином смысле: здесь слово «утверждение» означает одновременно и логическое утверждение, и ссылку на саму фразу. Что не одно и то же. На каждом витке рассуждений мы будем наращивать «степень» этого отношения: утверждение об утверждении об утверждении, утверждение об утверждении об утверждении об утверждении и т. д. Каждый раз ошибочно считая, что, будто бы, термин «утверждение» имеет один и тот же смысл — раз уж он называется одним и тем же словом.

     Впрочем, парадоксы, основанные на системе утверждений, некоторые из которых содержат утверждения о других утверждениях, тоже приводят к якобы «парадоксу». Как бы следует, что некоторое утверждение (обычно — как раз «утверждение об утверждении») одновременно истинно и ложно. Но нет, «парадокс» тут возникает исключительно потому, что мы пытаемся вывести истинность или ложность некоторой системы утверждений, основываясь на них же самих.

     Такое просто невозможно сделать: можно лишь сказать, что утверждения содержат противоречие, поэтому не могут быть верны одновременно, а, следовательно, система аксиом противоречива.

     Но иные утверждения об истинности сделать невозможно, ведь логика — это не про проверку истинности утверждений. Это про проверку истинности или ложности утверждений, относительно других утверждений.

     Ну, или о неопределённости статуса их взаимоотношений, как в случае с «бабушкой швейцара».

     Об этом же принципе, кстати, говорят и любимые многими теоремы Гёделя: они тоже доказываются именно что построением утверждения о системе утверждений. То есть это — попытка «доказать» истинность системы аксиом при помощи них же самих. Именно в этом смысле «неполна» непротиворечивая система аксиом: нельзя построить такую систему, которая докажет истинность её же самой. А вовсе не (как некоторые думают) что «в любой системе аксиом есть какие-то положения, утверждений о ней самой не касающиеся, но при этом ложные и истинные в её рамках одновременно». Так, разумеется, тоже может оказаться, но этого ни Гёдель, ни кто-либо другой никогда не доказывал.

      При помощи обращения внимания на то, что именно утверждается, логически разрешаются парадоксы вида: «Вася сказал то, а Петя — это». Да, действительно, высказывания Васи и Пети могут противоречить друг другу, но в данном случае система утверждений состоит из утверждений о том, что именно сказали Вася и Петя, а вовсе не о том, что ими сказанное одновременно верно. Если оно верно, то это — система с противоречиями. Вопрос закрыт. Если же речь именно про то, что Вася вот так сказал, а Петя — вот эдак, то вариантов разрешения целая куча. Например, «Вася ошибся». Или «Петя врёт».

     В описании «парадоксов» это пытаются замаскировать и в процессе рассуждений меняют смысл этих утверждений, нарушая первый закон логики: то делается акцент на том, что «Вася сказал, что А — истинно», то на том, что «А — истинно». Будто бы это — одно и то же. Но нет, при аккуратном анализе вся парадоксальность исчезает.

     В общем, я пока что не встречал ни одного действительно «логического парадокса». Все они разрешаются обычной формальной логикой по закономерным правилам.

      И мне, вот, интересно. А есть ли у вас такого рода примеры, которые ставят вас в тупик?