Парадокс Кэрролла:
сказка, логика или математика?
Почти все мы читали в детстве сказку Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес». Однако не все знают, что Льюис Кэрролл (1832-1898) был не только писателем, но еще и математиком, философом и даже в свое время принял духовный сан диакона. Возможно, все эти факторы вкупе и предопределили богатую фантазию автора и необычные сюжеты его повествований.
Сегодня мы вновь вспомним сказки великого автора, однако нас в большей степени будет интересовать парадокс Кэрролла и то, как его разрешить. Вы сможете разрешить любой или почти любой парадокс, если пройдете нашу программу «Когнитивистика». А сейчас мы напомним, что Льюис Кэрролл – это псевдоним писателя, и его настоящее имя Чарльз Лютвидж Доджсон. И приступим к разбору нашей сегодняшней темы.
Парадокс Льюиса Кэрролла: что это такое?
Итак, парадокс Кэрролла – что же это такое? Википедия предлагает следующее формальное определение: это двухчастная инвенция (выдумка) Льюиса Кэрролла – логический парадокс в форме диалога, описанный Кэрроллом в 1895 году. Есть и другое название: «Что черепаха сказала Ахиллесу» (по-английски What the Tortoise Said to Achilles). Это парадокс Кэрролла простыми словами.
Мы помним, что Льюис Кэрролл был сказочником, так что в его фантазиях черепахи вполне могут разговаривать. В его сказках, кстати, разговаривают практически все, даже цветы. Парадоксы и иносказания в сказках Л. Кэрролла мы обсудим чуть позже, а пока вернемся к тому, что принято называть парадоксом Кэрролла.
По сути, этот парадокс представляет собой некую аллегорию об основах логики. Знающие люди сразу заметят в названии парадокса отсылку к одной из апорий Зенона, согласно которой Ахиллес никогда не сможет обогнать черепаху. Напомним вкратце «зеноновскую» версию:
Ахиллес двигается в 10 раз быстрее черепахи и находится в тысяче шагов от нее.
Пока Ахиллес преодолеет это расстояние, черепаха продвинется на сто шагов.
Пока Ахиллес преодолеет сто шагов, черепаха проползет еще десяток шагов и так до бесконечности.
Исходя из этой логики, Ахиллес не сможет догнать черепаху. В «кэрроловской» версии Ахиллес догоняет черепаху, садится ей на панцирь, и между ними происходит диалог. Так, черепаха предлагает Ахиллесу оценить верность следующей логической цепочки:
Вещи, которые равны, равны друг другу.
Две стороны этого треугольника – это одно и то же.
Следовательно, две стороны этого треугольника равны друг другу.
В процессе дальнейшего обсуждения выясняется, что тут все не так просто, как кажется на первый взгляд. Желающие могут ознакомиться с полной версией диалога и полным набором аргументов сторон здесь.
Как понять и как разрешить парадокс Кэрролла, и что делать, чтобы его разрешить? Мы ограничимся пояснением самого автора парадокса, который утверждает, что тут мы сталкиваемся с проблемой регресса, потому что для объяснения каждого последующего принципа нужно пояснение предыдущего, а как только мы поясним предыдущий принцип, нужно будет объяснять принцип, предшествующий предыдущему, и так бесконечно.
В случае с апорией Зенона проблема состоит в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий должна завершиться, невзирая на то, что невозможно представить себе «завершаемость» данной последовательности ни физически, ни в принципе [Д. Гильберт, П. Бернайс, 1982].
На самом деле, «завершаемость» подобного рода событий можно легко представить с помощью известной шутки про бесконечное количество математиков и то, что все вместе они никогда не смогут купить 2 килограмма картошки, если каждый последующий из них будет брать в 2 раза меньше, чем предыдущий.
Проще говоря, первый покупает 1 килограмм картофеля, второй покупает полкило, третий – 250 граммов, и так до бесконечности. Эту ситуацию «завершает» простой работяга с ближайшей стройки, который просто приходит в магазин и безо всяких заморочек просит взвесить 2 килограмма картошки. Пример, конечно, утрированный, однако для практической повседневности более наглядный и реалистичный
На самом деле, ценность парадоксов и поиск путей их разрешения состоит в том, чтобы расширить математический аппарат и приблизиться к поиску алгоритмов решения сложных задач, коих и без сказочных фантазий в реальной жизни предостаточно. Ну а мы на этом остановимся и перейдем к более интересным вещам, понятным всем, кто читал сказки Кэрролла.
Парадоксы и иносказания в сказках Л. Кэрролла
Начать стоит не собственно с парадоксов и иносказаний, а с известной исторической байки: когда королева Виктория прочла «Алису в стране чудес», она попросила принести ей все книги этого автора, и ей принесли стопку книг по математике [С. Кругосветов, 2015].
Так это было на самом деле или нет, нам из глубины веков уже не узнать, но байка весьма занимательная. И, что самое главное, проясняющая читателям, откуда у автора такая фантазия и склонность сочинять логические парадоксы. Ну а чем еще заняться математику на досуге?..
Правда, злые языки утверждают, что, если сделать логическое допущение, будто грибы в сказке «Алиса в стране чудес» были галлюциногенными, тогда все становится на свои места. И откуда у автора такие фантазии тоже становится яснее.
Более того, у всех, кто случайно сварил суп из грибов, растущих вблизи оживленной автомагистрали, есть шанс написать столь же зажигательное произведение, если успеть записать все, что привиделось под воздействием супа из поврежденных экологией грибов.
Шутки шутками, однако превзойти Кэрролла в плане фантазий и парадоксов пока не удалось никому. Так что дело, надо полагать, не в грибах, а в хорошей фундаментальной подготовке по математике и творческом подходе к делу. Итак, нам в помощь статья «Естественнонаучные парадоксы и нонсенсы в книгах Льюиса Кэрролла», и мы приступаем [С. Кругосветов, 2015].
«Падение в кроличью нору»
Сюжет сказки «Алиса в стране чудес» закручивается с момента, когда главная героиня проваливается в кроличью нору, которая оказывается бесконечно глубоким колодцем [Л. Кэрролл, 2009]. Соответственно, героиню ждет долгий полет, на протяжении которого она размышляет, в числе прочего, что будет, если она пролетит насквозь весь земной шар и вылетит с другой стороны.
Нужно заметить, что для научной общественности прошлых столетий это была весьма распространенная тема для рассуждений. Начиная с Плутарха (45-120), мыслители древности регулярно задавались данным вопросом. Ответ на него дал Галилео Галилей (1564-1642), подсчитав, что летящий «сквозь Землю» предмет достигнет центра земного шара за 36 минут, если пренебречь сопротивлением воздуха и кориолисовым ускорением.
Для справки: Кориолисово ускорение – это одна из сил инерции, которая заставляет движущиеся объекты отклоняться вправо по отношению к направлению движения в северном полушарии и в левую сторону по отношению к направлению движения в южном полушарии.
И хотя ответ на вопрос о полете «сквозь Землю» был дан задолго до рождения Кэрролла, обсуждение данной темы было по-прежнему модным и интересным занятием. С этой точки зрения вполне объяснимо, почему Кэрролл решил «вплести» эту идею в свой сюжет.
«Считалочка Алисы»
Практически каждый, кто не слишком преуспевал в изучении школьного курса математики, смог ощутить свое интеллектуальное превосходство, читая сказку «Алиса в стране чудес». Еще бы, ведь если у главной героини 4 на 5 будет 12, а 4 на 6 равно 13, так мы все в сравнении с ней гении. Однако мало кто обратил внимание, что эти подсчеты абсолютно верны, если за основание системы счисления принять 18.
Для справки: основание системы счисления – это количество разных знаков либо символов, используемых для изображения цифр в системе. Например, в десятичной системе используется 10 цифр от 0 до 9, поэтому система и называется десятичной.
Собственно подсчеты и проверку правильности расчетов оставим любителям точных наук, а мы двигаемся дальше.
«Иносказательные знания»
«Считалочка Алисы» – это далеко не единственное, что может заставить читателя вспомнить собственные школьные годы. Встретившиеся на пути Алисы необычные звери и прочие живые существа тоже посещали школу и изучали «4 действия арифметики: Скольжение, Причитание, Умиление и Изнеможение».
Тут легко угадываются сложение, вычитание, деление и умножение. Правда, в сказочном царстве «причитание» – это от слова «читать», но в сказке возможно все. Впрочем, для обучения чтению и письму были специальные предметы: Чихали и Пищали, то бишь читали и писали.
В целом, в этой сказке просматривается отсылка к изучению 7 свободных искусств, включавших грамматику, логику, риторику, арифметику, геометрию, музыку и астрономию. Так, сказочные герои поведали Алисе, что их учили «Латуни, Драматике и Мексике». Хотя возможно, что «Латуни» – это значит латыни.
«Сны Господа»
Еще одно иносказание «запряталось» в разговоре Алисы с Траляля и Труляля. Обсуждая спящего и громко храпящего Черного Короля, эти веселые друзья решительно заявили, что знают, что снится Королю: ему снится Алиса. На уточняющий вопрос о причинах такой уверенности Алиса получает ответ, что, если бы она не снилась Королю, так ее здесь и не было бы.
В этом сказочном диалоге высмеивается отнюдь не сказочный, а вполне реально разгоревшийся в богословских кругах метафизический спор о «сне Господа». Траляля и Труляля озвучивают точку зрения епископа Джорджа Беркли (1685-1753), утверждавшего, что все сущее, включая нас самих, просто снится Всевышнему. Алиса оппонирует позицией Сэмюэля Джонсона (1709-1784), предлагавшего посильнее пнуть ногой большой камень и убедиться в собственной материальности посредством возникших после пинка ощущений.
К слову, в этом диалоге есть дополнительная «сонная» тема. Как мы помним, «Страна чудес» лишь приснилась Алисе. Таким образом. Алиса видит во сне Черного Короля, который видит во сне Алису, которая видит во сне Черного Короля, и далее до бесконечности. Выше мы уже затрагивали тему бесконечности логических цепочек и знаем, что они могут запутать нас очень сильно.
К теме сна Кэрролл обращается в еще одной своей сказке «Алиса в Зазеркалье» [Л. Кэрролл, 2012]. И тут сложно не задуматься всерьез:
Если мир подлунный сам
Лишь во сне явился нам,
Люди, как не верить снам?
Верить или не верить снам – личное дело каждого. Главное – хорошо высыпаться.
«Железная логика»
Сказки Кэрролла полны логических парадоксов и намеков на них. Просто вспомним общение Алисы с персонажами, встречавшимися на ее пути, и посмотрим, как легко запутаться в абсолютно элементарных на первый взгляд суждениях.
Так, Заяц указал Алисе на то, что нужно всегда говорить то, что думаешь. Алиса ответила, что она так и делает. Как она пояснила для Зайца, «что я говорю, то и думаю, это ведь одно и то же».
Такое опрометчивое заявление вызвало волну споров и множество примеров парадоксальных утверждений от героев Кэрролла:
– Ты бы еще сказала: «Я вижу все, что ем», и «Я ем все, что вижу» – это тоже одно и то же!
– Ты бы еще сказала: «Я учу то, чего не знаю» и «Я знаю то, чего не учу» – это тоже одно и то же!
– Ты бы еще сказала: «Я дышу, когда сплю» и «Я сплю, когда дышу» – это тоже одно и то же!
Человек с хорошо развитой логикой легко выпутается из этих парадоксов. Однако с учетом того, что сказка написана для детей, это очень хорошая «зацепка» для того, чтобы заинтересовать их логическими играми и попытаться внедрить инновационные методики наподобие ТРИЗ в повседневную жизнь.
Интересны и другие «логические ловушки», подготовленные автором для своих героев. Например, стоит обратить внимание на часы, показывающие число и не показывающие, который час. Удивленной данным обстоятельством Алисе резонно ответили, что часы не должны показывать абсолютно все. Если часы Алисы не показывают, какой сейчас год, она же не скажет, что эти часы никуда не годятся?
Алиса, как помним, согласилась с этими доводами. Эти доводы и в самом деле выглядят логичными, однако только до того момента, как мы вспомним: часы именно потому так и называются, что их функция – показывать, который час. Можно, конечно, повернуть тему иначе и предположить, что тут дело в нашем консерватизме и ошибках мышления – считать, что часы должны показывать, который час. Как видим, поле для мыслительных экспериментов в сказках Кэррлола самое широкое.
Встречаются и занимательные выкладки попроще. Например, диалог с Чеширским Котом (Чешир – название графства в Великобритании, где родился Кэрролл):
– Скажите, пожалуйста, куда мне отсюда идти?
– Это во многом зависит от того, куда ты хочешь прийти, – ответил Кот.
– Да мне почти все равно, – начала Алиса.
– Тогда все равно, куда идти, – сказал Кот.
Как говорится, и не поспоришь. Равно как не поспоришь и с наблюдением, сделанным во время чаепития, когда Заяц спросил Алису, почему она не пьет больше чай. Алиса вполне резонно удивилась, что значит «больше», ведь она не пила чай совсем. И тут же получила ответ, что «выпить больше, чем ничего, – легко и просто, а если выпить меньше, чем ничего, – это был бы фокус».
Весьма занимательна и традиционная детская «подстава», основанная на игре слов:
– Да, посещали мы морскую школу… хоть, кажется, ты этому не веришь…
– Я не говорила «не верю»! – перебила Алиса.
– А вот и сказала! – сказал Деликатес.
Да, действительно Алиса сказала «Не верю», когда говорила, что не говорила «Не верю». Вот такая запутанная логическая цепочка получается на ровном месте, если не оговорить сразу дополнительные условия. В частности, отрезок времени, который имеется в виду, когда обсуждается что-либо.
Не менее активно «кишит» иносказаниями и парадоксами и другая известная сказка Кэрролла «Алиса в Зазеркалье» [Л. Кэрролл, 2012]. Для начала напомним, что там все наоборот: идешь вперед, а возвращаешься назад, кровь из пальца идет раньше, чем порежешь палец, кусок пирога нужно сначала дать, а потом отрезать и т.д. Диалоги тоже весьма занимательны. Так, в ответ на замечание Алисы, что она «отчаялась» ее собеседница крайне удивилась:
– Отчаялась? – повторила она. – Разве ты пьешь чай, а не молоко?
Как видим, тут тоже используется игра слов и подмена понятий, когда «отчаялась» представлено как производное от слова «чай», а не от слова «отчаяние».
Еще один диалог, построенный на беспрерывной игре слов:
– Откуда берется хлеб?
– Он печется…
– Печется? О ком это он печется?
– Не о ком, а из чего, – объяснила Алиса. – Берешь зерно, мелешь его…
– Не зерно ты мелешь, а чепуху!
Как видим, Кэрролл мастерски играет словами. Остается только восхититься работой переводчиков, которые перевели сказки Кэрролла на русский язык, сохранив заложенный автором смысл и нюансы значений слов.
Встречаются и совсем «детские» ответы на вопросы, которые с точки зрения формальной логики выглядят безупречными:
– А почему вы здесь сидите совсем один?
– Потому, что со мной здесь никого нет!
Разумеется, мы все понимаем, что вопрошающий хотел узнать причину, по которой рядом с собеседником никого нет, однако, если не домысливать ситуацию и не размышлять, что имелось в виду, ответ вполне исчерпывающий.
Примерно столь же впечатляюща логика персонажа, решившего спеть песню:
– Когда я ее пою, все рыдают … или…
– Или что? – спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился.
– Или… не рыдают…
Можно взять такой логический ход на вооружение и использовать, когда возникнет потребность за максимально короткий отрезок времени обрисовать все возможные варианты актуальной реакции.
Некоторые логические парадоксы являются настоящим источником мотивации и конкретной рекомендацией что делать, когда грустно. Так, когда Алиса вздумала расплакаться, Королева посоветовала ей подумать, какая она умница, какое расстояние она прошла за сегодня, который сейчас час, но только не плакать. В ответ на удивление Алисы в духе «А разве, когда думаешь, не плачешь?» Королева решительно заявила, что «Конечно, нет, потому что нельзя делать два дела одновременно».
Тут Королева, конечно, погорячилась. Или просто ничего не слышала ни про многозадачность, ни про Юлия Цезаря, который делал несколько дел сразу. А вот совет отвлечься от грустных мыслей какими-то другими нейтральными или позитивными мыслями является весьма дельным.
Стоит отметить и такую полезную наработку из сказки «Алиса в Зазеркалье», как подарки на день нерожденья или не на день рожденья. Их можно дарить 364 дня в обычном году и 365 дней в високосном, что наверняка бы порадовало многих детишек.
Проще говоря, если день рождения только раз в году и подарки на день рожденья мы получаем один день в году, то подарки на день нерожденья можно получать все остальные дни в году, кроме того, когда вы родились. К слову, полезная идея для конфетно-букетного периода в отношениях, когда молодые люди судорожно ищут повод, чтобы как-то завлечь девушку.
А вот некоторые наработки героев точно лучше не применять на практике. Так, упавший вниз головой рыцарь заметил:
– Не важно, где находится мое тело – мой ум работает, не переставая. Чем ниже моя голова, тем глубже мои мысли!
Все, что тут можно сказать, – голову стоит беречь!
Это самое интересное, что мы хотели вам рассказать про парадоксы и иносказания в сказках Льюиса Кэрролла. Впрочем, сколько ни рассказывай, лучше, чем автор, этого не сделает никто. Сказки Льюиса Кэрролла можно перечитывать бесчисленное множество раз в любом возрасте и по любому поводу, и каждый раз находить в них что-то новое, на что раньше не обращали внимания.
С возрастом, кстати, начинаешь понимать гораздо больше. Ведь не зря сказки Кэрролла для детей оказались под столь пристальным вниманием взрослых! Если что-то все же осталось непонятным, рекомендуем пройти нашу программу «Когнитивистика». Прошедшие ее могут понять практически любые, даже самые сложные вещи.
Объёмный комментарий Автора оставлен под кнопкой «МНЕНИЕ Теории-N».
А Вас мы попросим высказать своё мнение!