Георг Фридрих Бернхард Риман
Георг Фридрих Бернхард Риман (немецкий: [ˈfʁiːdʁɪç ˈɡeːɔʁk ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman] (
слушать); 17 сентября 1826 – 20 июля 1866) — немецкий математик , который внес свой вклад в анализ, теория чисел, а также дифференциальной геометрии. В области реального анализа он в основном известен первой строгой формулировкой интеграла, интеграла Римана, и его работой над рядами Фурье. Его вклад в комплексный анализ включает, в первую очередь, введение римановых поверхностей, открывающих новые возможности в естественной геометрической трактовке комплексного анализа. Его статья 1859 года о функции простого счета, содержащая исходное утверждение гипотезы Римана, рассматривается как основополагающий документ аналитической теории чисел. Своим новаторским вкладом в дифференциальную геометрию Риман заложил основы математики общей теории относительности. Многие считают его одним из величайших математиков всех времен.
Опубликованные работы Римана открыли области исследований, сочетающие анализ с геометрией. Впоследствии они стали основными разделами теорий римановой геометрии, алгебраической геометрии и теории сложных многообразий. Теория римановых поверхностей была разработана Феликсом Клейном и, в частности, Адольфом Гурвицем. Эта область математики является частью фундамента топологии и до сих пор применяется новыми способами в математической физике.
В 1853 году Гаусс попросил Римана, своего ученика, подготовить учебное пособие по основам геометрии. В течение многих месяцев Риман разрабатывал свою теорию высших измерений и прочитал свою лекцию в Геттингене в 1854 году под названием «Что такое гипотеза, общая геометрия и основные принципы». Она была опубликована Дедекиндом только двенадцать лет спустя, в 1868 году, через два года после его смерти. Его раннее восприятие, по-видимому, было медленным, но сейчас он признан одной из самых важных работ в геометрии.
Предметом, основанным на этой работе, является риманова геометрия. Риман нашел правильный способ распространить на n измерений дифференциальную геометрию поверхностей, что сам Гаусс доказал в своей теореме эгрегиум. Фундаментальные объекты называются римановой метрикой и тензором кривизны Римана. Для поверхностного (двумерного) случая кривизна в каждой точке может быть сведена к числу (скалярному), при этом поверхности постоянной положительной или отрицательной кривизны являются моделями неевклидовой геометрии.
Метрика Римана — это набор чисел в каждой точке пространства (т.е. тензор), который позволяет измерять скорость на любой траектории, интеграл которой дает расстояние между конечными точками траектории. Например, Риман обнаружил, что в четырех пространственных измерениях требуется десять чисел в каждой точке для описания расстояний и кривизн на многообразии, независимо от того, насколько оно искажено.
Риман внес известный вклад в современную аналитическую теорию чисел. В единственной короткой статье, единственной, которую он опубликовал на тему теории чисел, он исследовал дзета-функцию, которая теперь носит его имя, установив ее важность для понимания распределения простых чисел. Гипотеза Римана была одной из серии его предположений о свойствах функции.
В работах Римана есть еще много интересных разработок. Он доказал функциональное уравнение для дзета-функции (уже известное Леонарду Эйлеру), за которым лежит тета-функция. Путем суммирования этой аппроксимирующей функции по нетривиальным нулям на прямой с действительной частью 1/2 он дал точную, «явную формулу» для .
Риман знал о работе Пафнутия Чебышева над теоремой о простых числах. Он посетил Дирихле в 1852 году.
Риман родился в Брезеленце – деревеньке в окрестностях Данненберга в Королевстве Гановер (ныне – Федеративная республика Германии). Фридрих Бернхард Риман, его отец, был бедным лютеранским священником, принимавшим участие в Наполеоновских войнах. Его мать, Шарлотта Эбелль, рано умерла. Бернхард был вторым из шестерых детей в семье. С ранних лет мальчик демонстрировал потрясающие математические способности и невероятные успехи в счёте, однако ребёнком он был застенчивым и пережил немало нервных срывов. Он был патологически робким человеком и страдал от боязни перед публичными выступлениями.
В 1854 г. состоялась его первая лекция, которая очертила область геометрии Римана, лежащей в основе общей теории относительности Эйнштейна. В 1857 г., в Гёттингенском университете предпринимаются попытки присвоить учёному особое профессорское звание. И, хотя попытки не оканчиваются успехом, они открывают перед Риманом перспективу стабильного заработка. В 1859 г., всё в том же Гёттингене, Римана повышают в должности до главы отделения математики, и в том же году его избирают членом-корреспондентом Берлинской академии наук. Новоиспечённый член-корреспондент представляет Академии свой доклад «Определение числа простых чисел, меньших данной величины», который станет ключевым в развитии теории чисел. Риман также является одним их первых, применивших систему измерений выше трёх- и четырёх мерных измерений для объяснения физической реальности.
В 1866 г., в результате столкновения армий Пруссии и Гановера в ходе Австро-прусской войны, Риман вынужден бежать из Гёттингена.
Инновационные труды Римана заложили основу современной математики и различных исследовательских областей, включая математический анализ и геометрию. Его работы нашли применение в теориях алгебраической геометрии, геометрии Римана и теории комплексного многообразия. Адольф Хурвиц и Феликс Кляйн доступно изложили теорию римановых поверхностей. Этот аспект математических знаний является основой топологии, и по сей день широко применяется в современной математической физике. Риман также совершил ряд поворотных открытий в теории «действительного анализа».
Он ввёл «интеграл Римана», найденный посредством «сумм Римана», и вывел теорию тригонометрических рядов, отличную от рядов Фурье – первого шага на пути к теории обобщённых функций, а также определил «дифферинтеграл Римана-Лиувилля».
Много сделал Риман и для развития современной аналитической теории чисел. Он ввёл «дзета-функцию Римана» и объяснил её значение для понимания распределения простых чисел. Он также выдвинул ряд предположений о свойствах дзета-функции, одними из которых являются знаменитые «гипотезы Римана». Его труды вдохновляли работы Чарльза Лютвиджа Доджсона, более известного под именем Льюис Кэррол, – математика, написавшего популярные книги «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье».
—
